Page 296 - 4371

1 
тоді S  arccos  arccos 1 і S  .
n
n  1 2
 x 2n 1
11.21 Розглянемо   xf  n ; ряд, який стоїть спра-
n 1 2
x
ва – геометрична прогресія з першим членом і знамен-
2
x 2 x 2 x
ником . Отже, при x  2  xf   .
2 1 x 2 2 2 x 2
Даний ряд можна почленно диференціювати в інтервалі
його збіжності:
 2n   1 x 2n 2 2 x 2  2 n 1
f   x   n  2 і  n   f   31  .
n 1 2 2 x 2  n 1  2
11.22 Розглянемо
1  1 3 x 1 1
f   x 2  3 nx     при x 0.
x
ln 3 n 1  ln 2 3 1 3 x ln 2 3 3  1
Даний ряд можна двічі почленно продиференціювати на
 ,0   , так що
 n 2 3 x 3   1  n 2 3
x
  f   x  nx  3 і  n    f  1  .
x
n  1 3 3   1 n  1 3 2
 1 1  1  2
11.23 Очевидно  2   2  . Тоді:
1
n 1   2n 4 n n 24

 1  1  1  2  2  2
а)  2  2  2    .


2k
n 1  2 n  1 k 1  k k 1    6 24 8
   1 n 1   1  1  2  2  2
б)  2   2  2    .

n 1  n k 1  2 k  1 k  1  2k 8 24 12
11.24 Збіжність ряду очевидна. Перетворимо загальний
член ряду:
2
2
2
4n 1 4n  4n  4n  1 4n  2n  1 2 4 1
    .
n 2 2n  1 2 n 2 2n  1 2 n 2 2n  1 2 2n  1 2 n 2
296