Page 299 - 4371


3
5
x 3 x 5  x  x  
 x
 . . .
x    .. .  3 5 
lim 3 5  lim   
x 1 x 2 x 4 x 6 x 1 2 4 6 
   .. .  x x x 
2 4 6      . . . 

 2 4 6 
1
1 x 2  x 4  . . . 1 x 2 1
 lim  lim  lim  1.
x  1 x  x 3  x 5  . . . x  1 x x  1 x
1 x 2
11.30 Припустимо, що дане число раціональне, тобто
 1 m
S   2  , де m і k – натуральні числа. Тоді
n1  n! k
m  1
2 2 2 2
S  !k   !k – число ціле. Але  !k     !k
k n 1  !n 2
1 1
2
 43   k    k 2  1 2  2  . . . .
 k  1   k  1  k 2 
Оскільки перші k доданків – цілі числа, то сума
1 1
   теж повинна бути цілим чис-
 1k  2   1k   2k  2
лом. Але
1
1 1 1 1  1k  2
      
 1k  2   1k  2k  2  1k  2  1k  4 1
1  2
 1k 
1 1 1
 2   . Твердження доведено.
 k  1  1 k  k  2 3

11.31 Маємо:
 ln xx  2  ln xx  k
x x  e  ln xx 1  ln xx     ,
! 2 ! k

299