Page 297 - 4371

 4n 1  1  1
Отже,  2 2  4  2   2 . Знайдемо суму
n 1 n 2n 1  n 1 2n 1  n 1 n
першого ряду:
 1  1  1  1 1  1 1 3
 2  2  2  2   2  S  S  S .



n 1  n 12   n 1 n n 1  n2 n 1 n 4 n 1 n 4 4
 4 n 1 3
Таким чином,  2  4 S  S  2 S .
n 1 n 2  n 12   4
11.25 Доведемо спочатку, що загальний член ряду пря-
мує до нуля при n . Для цього покажемо, що для всіх

n u  7 , 1 n . Застосуємо метод математичної індукції:
n
при n  , 1 , 2 3 нерівність очевидна, нехай вона виконана
для всіх номерів, менших n . Тоді для u маємо:
n
u  u  u  7 , 1 n 2  7 , 1 n 1  7 , 1 n 2 1 7 , 1  1 7 , n 2 7 , 1  2  7 , 1 n .
n n 2 n 1
u 7 , 1 n  7 , 1  n
Тоді n      0 при n .
2 n 2 n  2 
n u
Розглянемо частинну суму ряду: S   k , тоді
n k
k 1 2
n u n u  u u
2 S   k . Звідси S2  S  u   k k 1  n 
n k 1 n n 1 k 1 n
k 1 2 k 2 2 2
n u u 1 n 2 u u
1 
 u  k 2  n n , або S n  u 1   k k  n n 
k 1
 2
k 3 2 2 2 k 1 2
1  u u  u 1 u 3u
 u  S  n 1   n   n  u  S  n  1  n .
1 n n 1  n n 1 n n n  1
2  2 2  2 2 2 2
1 u 3u u u 3
Тоді S n  u 1  n 1   n , тобто S  u 2 1  n 1  n .
n
2 2 n 2 n  1 2 n 1 2 n
Перейшовши тут до границі при n , одержуємо:

n
 2 u  lim S n  2u 1  2 .
n
n  
n 1
297