Page 289 - 4371

1 3
 і, оскільки ряд з загальним чле-
1  2  . . .  n 2 n n
3
ном a  збігається, то і даний ряд збігається.
n
2 n n
11.4 Очевидно, 2 n  2!! 1  n  2  !!! , тоді
 n 12    n 22!!  !! 1
  .
  n !!2   n !!2 n 2
 1
Оскільки ряд  розбіжний, то і даний ряд розбіжний.
n 1 2n
  
11.5 Очевидно, x     n 1 ,   n  , звідки
n
 2 2 
 1 1
x   n 1  n і  . Тому розглядуваний ряд
n 2 2
2 x n
n
 1
мажорується збіжним рядом  2 і, значить, збіжний.
n 1 n
11.6 Очевидно, 0  a  , 1 a  cosa  cos 1 0 і
n n  1 n
lim a  0, так що ряд розбігається.
n   n
11.7 Нехай q 1. Тоді при  q  1 можна вказати таке
1
n , що  a1ln   ln n при n  n , тобто a  , і ряд
0 n 0 n 
n
 1
збіжний, бо мажорується збіжним рядом   .
n 1 n
При q 1 вибираємо довільне  (  q  1); тоді, почина-
1
ючи з деякого n  a1ln   ln n , a  , і ряд розбіжний.
0 n n 
n
11.8 В силу нерівності Коші-Буняковського-Шварца
2 2
 n a   n 1   n   n 1 
  k     a      a      ,
 k  k k k k 2
 k 1   k 1   k 1   k 1 

289