Page 283 - 4371

10.59
 x dx 1  dt 1  
 4 2014   t  x 2   2 1007   
0 1 x 1 x 2 0 1 t 1 t 2 4 8
(див. попередню задачу).
 dx
10.60 Застосуємо тотожність (10.1):  2 x  

    x1   a1
 
 1 1   1 1  dx
    2 x  2 x  dx    x  x  2 

0   1 x  1 a   1 x  1 a  0  1 a 1  a  1  x
  1 a x  dx  dx 

 
  x  x   2  2  , що дійсно не зале-
0  1 a 1 a  1 x 0 1 x 2
жить від a .
10.61 Збіжність даного невласного інтеграла рівносиль-
1 
ln x ln x
на збіжності інтегралів I   dx і I   dx .
1 x 2  a 2 2 x 2  a 2
0 1
ln x 1 x    ln x
Нехай 0    1. Тоді :   0 при x 0.
x 2 a 2 x  x 2  a 2
ln x 1 x 2 ln x
Якщо ж 1   2, то :    0 при
x 2  a 2 x  x 2  a 2 x 2
x   .
Тому за ознакою порівняння інтеграли I і I збігають-
1 2
ся, а це означає, що збігається і даний невласний інтеграл.
Знайдемо його значення:
 ln dxx  ln t  ln a adt 1  ln tdt  ln adt 


 2 2  x  at   2 2    2   2   
0 x  a 0 a  1t a  0 t 1 0 t 1 
1  1 ln tdt  ln tdt     ln a
  2   2   ln a  arctg t   , оскільки
a  0  t  1 1 t  1 0  2 a

 ln tdt 1 1 ln dss
 2  t     2 .
1 t 1 s 0 s 1

283