Page 282 - 4371

10.56 Застосуємо формулу інтегрування частинами:
2 dxx
2
u  arctg x , du 
  2 4
arctg x x 1  
I   2 dx   arctg x arctg x 2 0 
0 x 1 dv  dx , v  arctg x
x 2 1
  2
x arctg x x arctg x 
 2  4 dx . Але  4 dx  (див. 10.55 при
0 x 1 0 x 1 16
m  1). Таким чином,
   2  2  2  2
I  arctg x arctg x 2  2    .
0 16 4 8 8
10.57
 2013 1 2013  2013
x dx x dx x dx
 2 2013    2 2013    2 2013  .
0  1 x  1 x 0  1 x  1 x 1  1 x  1 x
 x 2013 dx 1 1 dt
Але  2 2013   x    
1  1 x  1 x t 0 t 2013 t 2  1     1 1 
 1

 t 2   t 2013 
1  2013 1 2013
dt x dx x dx
  2 2013  . Тоді  2 2013   2 2013  
0
0  1 t  1 t 0  1 x  1 x   1 x  1 x
1 1
dx dx 1 

  2 2013  2  arctg x 0  .

0 1 x 1 x 0 1 x 4
10.58
 1 
dx dx dx
 2     2     2    I  I .
2
1
0 1 x 1 x 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x
 1 
dx 1 t dt
Але I    x    . Тоді
2  1 x 2  1 x   t  1 t 2  1 t  
1 0
1  1 x   dx 1 dx 
I  I 2     2   , що не зале-


1     2
0  1 x 1 x  1 x 0 1 x 4
жить від .
282