Page 285 - 4371

Таким чином, одною з первісних для підінтегральної фун-
1  arctgx  x 
кції є функція   xF  2  arctgx ,  x  0. Оскі-
2  x 
льки
1  arctgx  x  1    
lim F   x lim   arctgx   0     ,
x   x   2  x 2  2  2  4
1   ox   xx 3 
lim F   x lim    arctgx   0 ,

x   0 x   0 2  x 2 

1  1   
то  2 1   arctg x dx   0  .
0 x  x  4 4
n x n  1
10.64 а) Очевидно 5  5  5 при
1 n   1 1 x 1 n
n 1
n x dx n  1
n  x  n  1. Тоді 5   5  5 і
1 n   1 1 x 1 n
n
n 5 4 n 1 x dx n 4 n   1
 n   .
5 5 5
1 n   1 n 1 x 1 n
 n  1 x dx 
 
Звідси випливає, що lim n 4   1.
n   1 x 5 
 n 
x 1 1 1
б) При x  1 маємо    ,
1 x 5 1 4 1 x 4  x  1 4
 x
x
x 1 1 x 1
крім того,  . Отже,   , x  1.
1 x 5 x 4  x  1 4 1 x 5 x 4
Звідси
2 n dx 2 n x dx 2 n dx
 4   5   4 ,
n  x 1  n 1  x n x
1  1 1  2n x dx 1  1 1 
або          , тобто


3   1n  3 2n   1 3  n 1  x 5 3 n 3  2n 3 



285