Page 280 - 4371

 2  2

10.52 Маємо cosax   cos x  a 2 dx   cos  1a  cos xx 
0 0
 2
1
a
sin  1a  sin xx cosx  a 2 dx   cos  1a   cosxx  dx

0
 2

 sin  1a  sin xx   cos x  a 2 dx .
0
Розглянемо окремо другий інтеграл:
 2  2 sin  1a x
a
1
  sin  1a  sin xx   cos x  a 2 dx   d   cos x  
0 0 a 1
 2  2
sin  1a x a 1 a 1

 cos x   cos  1a   cos xx  dx .
a 1
0 0
 2 sin   xa  1  2
Отже, cosax cosx  a  2 dx  cosx  a 1   0 .

0 a  1 0
1 k 
ln  1 x k
10.53 Нехай I  dx . Маємо I k  x  t 
k 
0 x
1 1
1 ln  1 t  1 ln  1 x 
  dt , тобто I  I . Тоді I   dx 
1
k
k t k x
0 0
1 1  2
 I  I  I  I   I і I   2I   . Таким чином,
2 1 1 1 1 1 2
2 2 6
1 ln 1 x 3  1  2
 dx  I 3  I 1   .
0 x 3 18
 x  cb ln  x a x  cb ln  x  x  cb ln  x
10.54 I  4 4 dx   4 4 dx   4 4 dx.
0 x a 0 x a a x a
a 2  a 2 
  cb ln 
  x   cb ln  x a 2 a t  t  2
Але  4 4 dx  x     8  a 2 dt 
a x  a t 0 a  a 4 t
t 4
280