Page 279 - 4371

10.50 Очевидно
2013 sin 2013x  sin 2013x 1006 2k 1  sin 2013x
I   dx   dx    dx .
0 sin x 0 sin x k 1 2k 1  sin x
Але
2k 1   
sin 2013x sin 2013t sin 2013t
 dx  x  2k  t   dt  2  dt.
2k 1  sin x  sint 0 sint
Отже,
 1006  
sin 2013x sin 2013x sin 2013x
2
I   dx    dx  2013  dx .
0 sin x k 1 0 sin x 0 sin x

sin 2n 1 x
Нехай J   dx , зауважимо, що J   ; і
n sin x 1
0
 sin 2n 1  sinx 2n 1 x  2 sin x cos 2nx
J  J   dx   dx 
n 1 n sin x sin x
0 0
  sin 2n 1 x
 2  cos 2nx dx  0. Тому  dx   при будь-

0 0 sin x
 sin 2013x
якому натуральному n , Зокрема і  dx   . Та-
0 sin x
2013  sin 2013x
ким чином,  dx  2013  .
0 sin x
1 x  x a
b
10.51 Позначимо  dx  F  b . Тоді   bF 
0 ln x
1 b b
x ln x 1 dt
  dx  , тобто   bF    C  ln b 1  C .
0 ln x b  1 0 t 1
b  1
Але  bF  0, звідки C   ln  a  1 і   lnbF ,
b a a  1
1 x b  x a b  1
тобто  dx  ln .
0 ln x a  1
279