Page 288 - 4371

3 x
11.2 а) Оскільки    при x   ( що легко
ln x
встановити за допомогою правила Лопіталя ), то починаю-
3 n 12
чи з деякого n буде виконана нерівність  . Звідси
ln n ln 2
3
3 n 12
n ln  12 ln n , або 2  n .
2
Тобто, починаючи з якогось номера, члени даного ряду
n 10 n 10 1  1
задовольняють умову 0  3  12  2 . Але ряд  2
2 n n n n 1 n
збіжний, тому і даний ряд збіжний.
1 1
n
б) Очевидно  n!ln  ln n  nln n , тому   0 .
ln   !n n ln n
 1
Оскільки ряд  розбіжний, то і даний ряд розбіжний.
n 2 n ln n
n
в) Спиратимемось на той факт, що lim n  1 (що легко
n  
довести, ввівши неперервну змінну і застосувавши правило
 1
Лопіталя). Порівняємо даний ряд з розбіжним рядом  :
n 1 n
1
n n n 1
lim  lim  1. Отже, даний ряд розбіжний.
n   1 n n   n n
г) Очевидно, для будь-якого натурального n n  ln n ,
1 1 1
тому 0    , n  2 . Оскільки ряд
n 2  ln n n 2  n n  n  1
 1
 збіжний, то і даний ряд збіжний.
n 2 n  1n 
11.3 Використовуючи геометричний зміст визначеного
інтеграла, легко встановити, що
n n
2 2
1  2  . . .  n   x dx  x x  n n . Тому
0 3 0 3
288