Page 287 - 4371

  2  
  f  x  f  x
 2013 dx    f  x 2013 dx 
0  f  x 0  f  x
u   f  ,x du    f  dxx
  f  dxx 1 
dv  2013 ,v   2012
 f  x 2012  f  x
  
 f  x 1   f  x
    dx .
2012  f  x 2012 2012  f  x 2012
0 0
Тут перший доданок обмежений:

f   x M
 ,
2012  f  x 2012 2012 2012
а другий доданок є збіжний невласний інтеграл в силу оцінки
   
1   f  x 1
 2012 dx  2012    f  dxx
2012  f   2012
x
0 0
і збіжності останнього інтеграла.
ln n lnn ln 10 lnn ln 10 ln 10
ln
lnn
10
11.1 а), б) Очевидно 10  e  e   e  n .
Враховуючи, що 2  ln 10  3, маємо:
 n  n  1
 ln n   ln 10   ln 10 1 – ряд збіжний, оскільки
n 1 10 n 1 n n 1 n
ln 10 1  1.
 n 2  n 2  1
 lnn   ln 10   ln 10 2 – ряд розбіжний, бо
n 1 10 n 1 n n 1 n
ln 10 2  1.
 1
в) Як відомо, ряд  p збіжний при p  1 і розбіж-
n 2 n ln n 
ний при p  1. Оскільки

10 ln lnn   e ln 10 ln ln n   e ln lnn  10ln  e ln lnn   ln 10  ln n  ln 10 , то
 1  1
 ln ln n   ln 10 – ряд збіжний, оскільки

n 3 10n n 3 n ln n 
ln 10 1.
287