Page 276 - 4371

 2  2 2

  arcctg cos x  arcctg  cos x dx   dx  .
0 0 2
10.42 Зауважимо, що невласний інтеграл є збіжним,
1
оскільки sinln x  :  0 при x  0 (0    1). Очеви-
x 

 2  4  2
дно I  ln sin x dx   ln sin x dx   ln sin x dx .
0 0  4
 2  4
Але  ln sin x dx  x    t   ln cos t dt . Тоді
 4 2 0
 4  4  4

I   ln sin x dx  ln cos x dx   ln sin x cos x dx

0 0 0
 4  4  4  4
2
 sin x 
  ln  dx   ln sin 2x dx   ln 2 dx   ln sin 2x dx

0  2  0 0 0
 2
 ln 2 dt  ln 2 1  ln 2
  2  tx   ln sin t    I  .
4 2 4 2 4
0
1  ln 2
Одержано рівняння I I  , із якого знаходимо
2 4
 ln 2
I   .
2
10.43 Очевидно
1 2 1
x ln x  x ln  1x  x ln x  lnx  1x ln  1x 
I   dx   dx 
0 x  1x  0 x  1x 
1 1
ln x ln x   1
  dx   dx  I  I ,
2
2
0 x  1 0 x
x
1
причому I не є невласним, оскільки ln   x ~ при
2
1
x  0. I обчислимо частинами: I  ln x ln  1 x  
1 1 0
1
ln x   1
  dx  0 I  2 I  . Отже,  II 1  I 2  0 .
2
0 x
276