Page 265 - 4371

ax 3  bx 2  cx  d ax 3  bx 2  cx  d
10.8 Очевидно  .
2
x 4  2x 2  1  x 1   x  1 2
Даний інтеграл буде раціональною функцією, якщо роз-
клад на суму найпростіших дробів матиме вид:
ax 3  bx 2  cx  d A B
  .
2 2 2 2
 x 1   x  1  x  1  x  1
Оскільки після зведення до спільного знаменника чисель-
3
ник правої частини рівності не міститиме члена з x , то з
необхідністю a  0 . Враховуючи це, маємо рівність
2
2
bx 2  cx  d  A  x  1  B  x  1 . Звідси A  B  b,
2 A  2 B  c , A  B  d , тобто повинна виконуватись умова
b  d . Отже, інтеграл є раціональною функцією, якщо
a  ,0 b  d .
10.9 При інтегруванні на проміжках, симетричних від-
носно нуля часто застосовують тотожність
a a
 f  dxx    f   fx  dxx . (10.1)

a 0
Таким чином,
2
2
2
1 cos x dx 1  cos x cos x 
 2     2  2  dx  .

1  sin1 x  1 x 0   sin1 x  1 x   sin1 x  1 x 
1 cos x  1 1  1 cos x 2
2
2
  2   dx   2  2 dx 
0 1  x   sin1 x 1  sin x  0 1  x 1  sin x
1 dx  
 2  2  2arctg x 1 0  2  .
0 1 x 4 2
1 xe x 2  x 2 1 1 xe x 2 1 x 2 1
10.10 I  x dx   x dx   x dx.
1 e 1 1 e 1 1 e 1
xe x 2
Легко перевірити, що функція   xf непарна, тому
e x  1
перший інтеграл дорівнює нулю. При обчисленні другого
інтеграла скористаємось тотожністю (10.1):
265