Page 263 - 4371

10.3 Скористаємось тим, що

x
 1 x 2 arctg   x  2 xarctg x . Отже,
x 2 dx 1 x 2xarctg xdx
 2    2 
  1 x 2 arctg x   x 2 arctg x   1 x 2 arctg x   x

x    x1 2 arctg x  x dx
u  , du 
arctg x   x1 2 arctg  x 2
 
2 xarctg xdx 1
dv  2 , v  2
   x1 2 arctg x   x   x1 arctg x  x
1   x dx 
     
2    1 x 2 arctg x  x arctg x  1 x 2 arctg  x 2 
1  x 1   1 x 2
     C  . C
2   1 x 2 arctg x x arctg x arctg x  2  1 x 2 arctg x  x
1 1 1
 1  x  x   1  x 
10.4 I    x1  e x dx  e x dx  x  1 2 e x dx .


 x   x 
Розглянемо другий інтеграл:
u  x, du  dx
1 1 1
 1   x x 1 1  x x  x x
 x  1 2 e dx   x  1  x   xe  e dx.

 x  dv  e x  1 2 dx, v  e x
 x 
1 1 1 1
x x x x
Тоді I   e x dx  xe x   e x dx  xe x  C .
10.5 Очевидно
1  x 1  x dx x
 dx   dx     dx .
1  x 1  x 1  x 1  x
Другий інтеграл:
x t 2
 t, x 
x 1  x 1  t 2 t 2 2
 dx    2 dt 
1  x t 2   t1 2 
dx  2 dt
  t1 2 
263