Page 223 - 4371

7.51 Запишемо задане в умові співвідношення у еквіва-
a 3 b 3
лентному виді   2013 та, використовуючи двічі
b 2 a 2
x 2
нерівність  2 x  y (цю нерівність легко довести: при
y
2
x  , 0 y  0 маємо:   yx   0  x 2  2xy  y 2 
x 2
  2 x  y ), перетворимо його ліву частину. Маємо:
y
a 3 b 3 a b  a 2 b 2 
  2 ( a  )b  2 ( b  )a   2    (a  )b 
b 2 a 2 b a   b a 

 2 2  ba  2  ab  (  a b )  a  b  2013,
що і потрібно було довести.
7.52 При n  2 отримуємо вірну числову нерівність
4  1 2 2 . Застосуємо метод математичної індукції. Не-
k
хай виконується нерівність 2  1 k 2 k 1  . Покажемо, що
звідси випливає вірність співвідношення
k
2 k 1  1 ( k 1 ) 2 . Маємо: 2 k 1 1   k 1  2 k 
k
 2 1 k 2 k  1  1 ( k ) 1 2  1 2 k  (k 2  ) 1   1 .
Одержаний вираз додатний при k  3. Таким чином, із
k
припущення, що нерівність вірна при n  випливає, що
вона вірна при  kn  1. Згідно з принципом математичної
індукції нерівність виконується при довільному натураль-
ному n 2.
7.53 Нехай arcsin x   , arccos x   . Оскільки

    , то
2
 3  3
3
 3   3       3         y .
8 2
Значення функції буде найменшим, коли найбільшим буде
значення добутку  . Оскільки   0 , то найбільше зна-
223