Page 222 - 4371

2 2 1 3 2 1 4 2 1  .. .   2013 2 1 
 
2 2 3 2  4 2  .. . 2013 2
 12  12  13  13  14  14  .. .   2013 1 2013 1 
 
2 2 3 2 4 2  .. . 2013 2
1 3  2  4 3 5  .. .  2011  2013  2012  2014
 
2 2 3 2  4 2  .. .  2012 2  2013 2

2
1 2 3  2 4  2 5  2 . . .   2012  2013 2014 2014 1
   .
2
2 2 3  2 4  2 . . .   2012  2013 2 2 2013 2
1 2 3 4 99 100
7.49 Очевидно, що  ,  , … ,  . Тому
2 3 4 5 100 101
2
 
a 2   1 3  5  ... 99       4  6  ... 100   1  1 .

 2 4 6 100   3 5 7 101  101 100
1
Тобто, a .
10
7.50 Доведемо, що для будь-якого натурального k
2 k1  k . Зауважимо, що при k  , 1 2 нерівність виконана.

2 x 1
Розглянемо функцію  xf  ,
x
2  x x 1  ln 2  2 x 1  2 x 1 
 f   x   ln x 2  1 . Звідси видно, що
x 2 x 2
1
 f   0x при x  , 1 44, тобто в даній області функція
ln 2
f  x зростає. Таким чином, при x  2 маємо
f    fx   12  . Отже, при будь-якому натуральному k
2 k  1 k1
 1, тобто 2  k . Тоді для натуральних m і n має-
k
мо: 2 m1  m 2, n1  n. Перемноживши почленно ці нерів-
ності, отримуємо 2 m n2  mn , що і вимагалось.

222