Page 174 - 4371

каним геометричним місцем буде одна із віток гіперболи з
r
фокусами в точках O і O з дійсною віссю, рівною R  .
1 2
Розглянемо випадок, коли точка знаходиться всередині
одного з кіл, але зовні другого. Для точки P маємо
r  O P  O P  R , звідки O P  O P  R  r  const , а для
1 2 1 2
точки Q маємо QO  r  R  O Q, тобто QO O Q  R r 
1 2 1 2
 const. Таким чином, в цих випадках одержується еліпс з
фокусами в точках O і O та великою віссю, рівною
1 2
R  r .
Зрозуміло,що шукане геометричне місце одержується як
об’єднання двох описаних вище множин точок.
5.47 Введемо на площині прямокутну декартову систе-
му координат Oxy , в якій еліпс матиме канонічне рівнян-
ня. Нехай xA , y ,  , yxB , C  , yx  – вершини три-
0 0 1 1 2 2
кутника найбільшої площі, вписаного в цей еліпс. Пере-
йдемо до іншої системи координат O x y , де
a


x  x, y  y , тобто розтягнемо попередню систему в
b
a
напрямі осі Oy в раз. При цьому еліпс перейде в коло
b
радіуса a з центром в початку координат, а трикутник
ABC перейде в трикутник найбільшої площі, вписаний в
це коло. Як відомо, серед трикутників, вписаних в дане ко-
ло, найбільшу площу має рівносторонній трикутник. По-
значимо xA  , y , B  , yx  , C x , y  вершини трику-
0 0 1 1 2 2
тника, в який перейшов трикутник ABC ; очевидно
b
x  ,  x y  y ,  i  2 , 1 , 0 .
i i i i
a
Скористаємось параметричними рівняннями кола:
x  acos t , y  asin t . Нехай координати вершини A оде-


ржуються при t  : x  a cos  , y  a sin  . Враховую-
0 0
чи, що трикутник A B C рівносторонній, для координат
вершин B і C маємо:
174