Page 160 - 4371

S QRC 1  QR RC BP 
3      .
S 3  PR BC AB 
ABC
Додаючи ці нерівності і враховуючи, що AP  BP  AB ,
BR  RC  BC , PQ  QR  PR , одержуємо

S S
3 APQ  3 QRC  1,
S S
ABC ABC
звідки і випливає потрібне твердження.
5.29 Зауважимо, що площа S трикутника з цілочисель-
ними координатами вершин не менше 0,5. Нехай a, b c , –
сторони трикутника, тоді
3 3
 a  b  c  p 3
   abc 4 SR 2 R , або  2 R , тобто p  54 R .
 3  27
5.30 Виведемо рівняння дотичної до другої параболи в
2
точці x , y , де y  ax  m . Якщо рівняння цієї дотич-
0 0 0 0
2
ної є y  kx  b , то ax  m  kx  b , або
ax 2  kx  m  b  0. Дискримінант цього квадратного рів-
няння повинен дорівнювати нулю: k 2  4a   bm  0 , звід-
k 2 k 2
ки b  m  . Отже, рівняння дотичної y  kx  m  .
4 a 4 a
Оскільки дотична повинна проходити через задану точку,
k 2
2
то ax  m  kx  m  , звідки 4a 2 x 2  4akx  k 2  0 ,
0 0 0 0
4 a
2
0
або 2ax  k   , тобто k  2ax . Підставивши значення
0 0
2
k в рівняння дотичної, одержуємо y  2ax x  m  ax .
0 0
Координати точок перетину дотичної з першою параболою
(тобто кінців хорди) знаходяться із системи рівнянь:
  2axy 0 x  m  ax 0 2 ,


  axy 2 .

160