Page 155 - 4371

чки C ) знаходяться строго між вітками гіперболи, що
означає, що пряма саме дотикається до гіперболи в точці
C . Твердження доведене.
5.20 Виведемо спочатку рівняння дотичної до параболи
 y 2 
2
y  2 px в точці  0 , y  . Шукатимемо це рівняння у
 0 
 2p 
виді y  kx  b і при знаходженні спільної точки параболи
2
і прямої приходимо до рівняння kx   b  2 px , або
k 2 x 2   2 kb  p   bx 2  0. Прирівнявши дискримінант цьо-
2 2 2
го рівняння до нуля, маємо kb  p   k b  0 , звідки
p
легко одержати p  2kb  0 , тобто k  . Таким чином,
b 2
p
рівняння дотичної набуває виду: y  x  b. Оскільки ця
b 2
пряма повинна прохолодити через задану точку параболи,
p y 2
2
2
то y  0  b, звідки 4by  y  4b , або
0 0 0
2 b 2 p
y
2 0
2  yb   , тобто b  . Підставивши знайдене зна-
0
0
2
p y
чення b в рівняння дотичної, одержуємо y  x  0 і
y 2
0
y 2
остаточно yy  px  0 .
0
2
Нехай точки на параболі мають координати
 y 2   y 2   y 2 
 A 1 , y , B  2 , y  , C  3 , y  (див. рисунок 5.13).
 1   2   3 
 2p   2p   2 p 
Зауважимо, що площа трикутника з вершинами в точках
 , yx  , x , y  , x , y  дорівнює:
1 1 2 2 3 3

155