Page 165 - 4371

чаючи з цієї системі y , дістаємо квадратне рівняння
2
2
2
2
2
2
b  a k 2  x  2a kdx a b 2 2  a d  0 . Корені цього рів-
няння x і x є абсцисами точок A і B . Тому абсциса x
1 2 C
x  x
середини C хорди AB дорівнює 1 2 і, згідно з теоре-
2
мою Вієта, може бути обчислена за формулою
2
a kd
x  . Тоді ордината y цієї ж точки дорівнює
C 2 2 2 C
b  a k
db 2
d
y  kx  , або y  .
C C C 2 2 2
b  a k
Нехай A B − хорда гіперболи, яка розташована на пря-
1 1
мій y  kx d , а A B − будь-яка інша хорда цієї ж гіпер-
1 2 2
боли, яка паралельна хорді A B , тобто має той же самий
1 1
кутовий коефіцієнт k , а значить, розташована на прямій
y  kx d . Нехай C і C – середини хорд A B і A B ві-
2 1 2 1 1 2 2
дповідно. Тоді
2
2
a kd d b 2 a kd
x  1 , y  1 ; x  2 ,
1 C b  a k 2 1 C b  a k 2 C 2 b  a k 2
2
2
2
2
2
2
d b 2
y  2 .
C 2 b  a k 2
2
2
x x y y
Рівняння прямої C C має вигляд: 1 C  1 C .
1 2
x  x y  y
C 2 1 C C 2 1 C
Підставивши сюди вирази для x , x , y , y і спрос-
C 1 C 2 C 1 C 2
тивши одержане рівняння, одержуємо:
2
a ky b x 2  0.
Очевидно, що координати точки  ,0O  0 , тобто координа-
ти центра гіперболи, задовольняють цьому рівнянню.
Оскільки коефіцієнти останнього рівняння не залежать від
d і d , то середини паралельних хорд гіперболи лежать на
1 2
165