Page 164 - 4371

Нехай A B − хорда еліпса, яка розташована на прямій
1 1
y  kx d , а A B − будь-яка інша хорда цього ж еліпса,
1 2 2
яка паралельна хорді A B , тобто має той же самий кутовий
1 1
коефіцієнт k , а, значить, розташована на прямій y  kx d .
2
Нехай C и C – середини хорд A B і A B відповідно.
1 2 1 1 2 2
2
2
a kd d b 2 a kd
Тоді x   1 , y  1 ; x   2 ,
1 C 2 2 2 1 C 2 2 2 C 2 2 2
b  a k b  a k 2 b  a k
d b 2
y  2 .
C 2 2 2
b  a k
2
x x y y
Складемо рівняння прямої C C : 1 C  1 C , або
1 2
x  x y  y
C 2 1 C C 2 1 C
a 2 kd d b 2
x  1 y  1
2
2
b  a 2 k 2  b  a 2 k 2 .
a 2 kd a 2 kd d b 2 d b 2
 2  1 2  1
2
2
2
2
b  a 2 k 2 b  a 2 k 2 b  a 2 k 2 b  a 2 k 2
Або, після спрощення,
2
a ky b x 2  0.
Очевидно, що координати точки  ,0O  0 , тобто координа-
ти центра еліпса, задовольняють цьому рівнянню. Оскіль-
ки коефіцієнти останнього рівняння не залежать від d і
1
d , то середини паралельних хорд еліпса лежать на одній
2
прямій, яка проходить через центр еліпса, що й потрібно
було довести.
5.35 Нехай пряма y  kx d перетинає гіперболу
x 2 y 2
  1 в двох точках: A і B . Тоді координати цих то-
a 2 b 2
 x 2 y 2
   1,

чок задовольняють системі рівнянь: a 2 b 2 Виклю-
 y  kx  . d

164