Page 161 - 4371

2
2
Із рівності ax  2ax x  m  ax легко одержуємо
0 0
2
a x  x   m . Корені цього рівняння:
0
m m
x  x  , x  x  . Безпосередньо видно, що
1 0 2 0
a a
x  x
1 2
 x , а це і означає, що точка з абсцисою x є се-
2 0 0
рединою відрізка, кінці якого мають абсциси x і x .
1 2
5.31 Виберемо прямокутну декартову систему коорди-
нат Oxy так, щоб осі Ox і Oy були асимптотами рівнобіч-
ної гіперболи, а вітки гіперболи розташовувалися в першій
і третій чвертях. Тоді рівняння гіперболи матиме вид
a
y  ( a 0 ). Виведемо рівняння дотичної до гіперболи в
x
 a 
точці  x ,  . Якщо рівняння дотичної є y  kx  b , то
 0 
 x 0 
при відшуканні спільної точки цієї прямої і гіперболи при-
ходимо до рівняння: kx 2  bx  a  0 , дискримінант якого
b 2
повинен дорівнювати нулю: b 2  4ak  0, тобто k   .
4 a
b 2
Отже, рівняння дотичної має вид y   x  b . Врахову-
4 a
ючи, що ця дотична проходить через задану точку, маємо
a b 2 2 2 2
  x  b , тобто 4a  4abx  b x  0 , звідки зна-
x 4 a 0 0 0
0
2a
ходимо b  . Таким чином, рівняння дотичної
x
0
a 2a
y   x  . Нехай x і x – абсциси точок перетину
2
1
x 0 2 x 0
дотичної з асимптотами гіперболи (осями координат). Тоді
x  0 і із рівняння дотичної при y  0 неважко одержати
1
161