Page 162 - 4371

x  x
x  2x . Тобто x  1 2 , а це означає, що точка доти-
2 0 0
2
ку – середина відрізка дотичної, що лежить між асимпто-
тами гіперболи, що й треба було довести.
5.32 Виберемо прямокутну декартову систему коорди-
нат Oxy так, щоб осі Ox і Oy були асимптотами гіпербо-
a
ли. Тоді рівняння гіперболи матиме вигляд y  . Нехай
x
 a   a 
точки A і B мають координати A  x , , B  x ,  .
 1 x   2 x 
 1   2 
Складемо рівняння прямої AB :
a
y 
x  x x x  yx   a
1  1 , або x  x   2 1 .
x  x a a 1 a
2 
x x
2 1
Поклавши в цій рівності y  0, одержуємо x  x  x , тоб-
1 2
то вісь Ox пряма AB перетинає в точці xC  x ,  0 . А
1 2
a x  x 
поклавши x  0, маємо y  1 2 , отже вісь Oy ця
x x
1 2
 a x  x 
пряма перетинає в точці  ,0D 1 2  . Тоді
 
 x 1 x 2 
 a   a 
AC  x  x 2  x 1 , 0    x ,   ,
 1
 2
 x 1   x 1 
 a   xx  a   a 
BD  0  x 2 , 1 2      x 2 ,  .

 x 1 x 2 x 2   x 1 
Звідси видно, що AC   BD , а це означає, що AC  BD .
2
5.33 Нехай пряма y  kx  b перетинає параболу y  ax
в двох точках: A і B . Тоді координати цих точок задово-

162