Page 117 - 4371

Але x 5  1, а значить, і   xf є дільниками кожної із дужок.
Звідси видно, що шукана остача дорівнює 5.
2
3.25 Добуток квадратних тричленів x  ax  b і
2
x  cx  d представляється у виді
4
2
3
x  a  c x  b  ac  d x  bc  ad x  bd .
Одержаний многочлен четвертого степеня тотожно до-
рівнює многочлену x 4  2x 2  2 x 2 , якщо
 ca  , 0 (3.1)  acb  d  , 2 (3.2)
bc  ad  , 2 (3.3) bd  . 2 (3.4)
Оскільки за умовою a, b, c, d – цілі числа, то (3.4) може
виконуватись тільки в тому випадку, коли один із спів-
множників непарний (рівний 1 чи -1), а другий парний (рі-
вний 2 чи -2). Нехай, наприклад, b непарне, а d парне.
Тоді із (3.3) випливає, що добуток bc парний. Але b непа-
рне, отже c повинно бути парним, що неможливо, бо при
b непарному, а c і d парних ліва чистина співвідношення
(3.2) непарна і не може дорівнювати 2.
x n  1
3.26 Очевидно   1xf  x  x 2   x n  1  . Легко
x  1
бачити, що якщо n парне, то   0xf  при x   ,   1 і
 f   0x при x  ,1   . Отже,  xf досягає абсолют-
ного мінімуму в точці x   1, але
1 1 1 1
f  1       0. Це означає, що   0xf для
2 3 4 n
всіх x , тому при парному n многочлен коренів не має.
Якщо ж n непарне, то   0xf  для всіх x . Оскільки при
цьому lim f   x , lim f   x , то рівняння   0xf
x    x   
має єдиний дійсний корінь.
3.27 Нехай многочлен  xP має більше як один дійс-
n
ний корінь, і нехай x і x ( x  x ) – корені многочлена
1 2 1 2
такі, що інтервал  , xx  не містить інших дійсних коренів
1 2
117