Page 111 - 4371

єнтами. Припустимо, що для деякого цілого x   0xP ;
0 0
тоді x  x x  x x  x x  x x  x    xQ  5.
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
Отже, x  x , x  x , x  x , x  x , x  x – різні цілі
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5
числа, які ділять -5. З другого боку, -5 має всього 4 різних
цілих дільники 1, -1, 5 і -5 – суперечність.
3.10 Насамперед зауважимо, що a і
n
1  a   a  a – непарні числа. Тепер припустимо,
1 n1 n
p
що  xP має раціональний корінь, позначимо його . Як
q
відомо, чисельник цього дробу повинен бути дільником
вільного члена a ; отже p – непарне число. Підставимо
n
p
n
x  в  xP і домножимо одержану рівність на q .
q
Отримаємо p n  a p n  1 q   a pq n  1  a q n  0 . Неважко
1 n  1 n
бачити, що ліва частина цієї рівності – непарне число як
при парному, так і непарному q , що свідчить про те, що
рівність виконуватись не може.
3.11 Розглянемо многочлен    PxQ   2x і доведемо
наступне твердження: якщо многочлен  xQ з цілими кое-
фіцієнтами має чотири різні цілі корені, то при будь-якому
цілому значенні x ціле число   xQ або дорівнює нулю,
або є складеним (зокрема, воно не може дорівнювати 1).
Нехай a, b, c, d – різні цілі корені многочлена  xQ . Тоді
справедливий розклад  xQ  S    xRx , де
S   xx   a x  b x  c x   d ,

а  xR – деякий многочлен з цілими коефіцієнтами. Нехай
x – ціле число, відмінне від a, b c , і d . Тоді  xR ціле, а
0 0
Q  x ділиться на добуток x  a x  b x  c x   d чо-
0 0 0 0 0
тирьох різних цілих чисел, хоча б два з яких відмінні від 1 і
-1. Тому або   0xQ , або число   – складене. Зок-
x
Q
0 0
111