Page 9 - 4357

Проте це суперечить принципу максимуму. Таким чином,
()
припущення (1.12) невірно і оптимальне управління Ut
визначається однозначно за винятком кінцевого числа точок.
Для рішення задач на максимальну швидкодію часто
корисно знати число точок, в яких спостерігається рівність (1.12),

оскільки це число визначає кількість переключень управляючих
сигналів між максимальним і мінімальним рівнями.
Нехай матриця A об'єкту має тільки дійсні (можливо,

()
кратні) власні числа, а рівняння ut доставляють мінімум
j
функціоналу (1.5). Визначимо, скільки разів може обертатись в
n
нуль функція   i ()tb .
ij
i 1
,
Нехай pp 2 , ..., p  різні власні числа матриці A (r  за
n
1
r
рахунок того, що серед власних чисел є кратні). Тоді матриця 
A має власні числа  , ,..., 2  r , де    p ,   1...r . Таким
T


1
T
чином, власні числа матриці A також є дійсними. Позначимо
кратність власного числа  як  . Очевидно, що


  1  2 ...    r  n .
Кожна функція  i ()t , i  1...n, є рішенням системи
однорідних лінійних диференційних рівнянь, і має вигляд
 i ()t  f 1 ()te   1 t f 2 ()t e  2 t  ...  f r ( )te . (1.18)

t
r
Функції, що входять в (1.18) f  () t ,   1...r є
многочленами, причому степінь кожного многочлена
визначається кратністю відповідного власного числа  і не

перевищує   1.

n
Очевидно, що лінійна комбінація   i ()tb матиме вигляд,
ij
i 1
аналогічний (1.18):
n
  i ()t b  ij  1 ()te   1 t  2 ()te  2 t ...    r ()te  r t , (1.19)

i 1
де  ()t ,   1...r  многочлени, що мають ту ж степінь, що і

многочлени f t .
()


9