Page 43 - 4328

Застосуємо теорему Коші для
багатозв’язної області. Для цього
Z  1  4
введемо в розгляд 2 контури:  , який
1
містить особливу точку z  0 та  з
2
особливою точкою z  4 всередині (рис.
-3 0 4 5 3.1).
  sin z 1
Функція f ( z) 
2
z  z 4
аналітична в заштрихованій частині,
Рисунок 3.1 тому

sin z 1 sin z 1 sin z 1
 2 dz   dz   dz 
z 1 4 z  4z  1 z (z  )4  2 z (z  )4
sin z  1 sin z  1  1 sin 4  1 sin 4
 2 i  2 i  2 i     i  .
z  4 z 0 z z 4  4 4  2

Якщо функція f(z) є аналітичною в замкненій області D, до якої
належить точка z 0, то значення n-ої похідної в цій точці можна
обчислити за інтегральною формулою Коші для похідної аналітичної
функції:

n! f ( z) dz
f ( n) ( z )   (3.9)
0 n 1
2 i z (  z )
l 0

Приклад 3.10
2
sh z cos( z)
Обчислити інтеграл а)  3 dz , б)  2 dz .
|z  |i 3 (z  )i z i 1 z ( i  )
Розв’язок
а) підінтегральна функція є аналітичною в |  iz | 3 крім точки

z   i  . А функція f(z) sh 2 z всюди аналітична в цьому колі.
0
Використовуючи формулу (3.9):

43