Page 42 - 4328

а) у замкненій однозв’язній області z  1  5 , 0 підінтегральна
sin z 1
функція є аналітичною, тому  2 dz  0 .
z  1  5 , 0 z  4z
б) в колі z  1  2 є одна точка z  0 , в якій знаменник
0
обертається в нуль
sin z 1
sin z 1 z  4
 2 dz   dz .
z 1 2 z  4z z 1 2   0z 

sin z 1
Оскільки (zf )  – аналітична в області, що обмежена
z  4
колом z 1  2 , можна використати формулу Коші (3.8):

sin z  1
 z  4 dz  2 i sin z  1   i  .
z 1  2 z   0 z  4 z 0 2

в) в області, обмеженій колом z  1  4 є дві точки z  0 та
z  4 , в яких знаменник обертається в нуль.

1 спосіб.
1 1 1 1
Розкладемо дріб на прості:   .
2
2
z  z 4 z  z 4 ( 4 z 4 ) z 4
sin z 1 sin z 1 sin z 1
Тоді  2 dz   dz   dz 
z 1 4 z  4z z 1 4 ( 4 z  )4 z 1 4 4z
sin 4  1 sin 0  1 sin 4
 2 i  2 i  i  .
4 4 2

2 спосіб.

42