Page 37 - 4328

Приклад 3.2
z
Обчислити e dz , де L – відрізок прямої у = –х, який з’єднує

L
точки z  0 і z    i  .
1 2
Розв’язок.
Запишемо рівняння лінії L в параметричній формі
x  t, y  t  .
У комплексно-параметричній формі рівняння прямої буде мати
вигляд z  t  it , де t змінюється від 0 до  .
z  t  it, dz  1 (  i) dt .

  1 i 
 e z dz  e t it 1 (  )dti  1(  ) ei  1 (  )ti dt  e 1 (  )ti 

L 0 0 1  i 0

 i  e 1 (  i)  e 1 (  i 0)  ( e  i ) 1 .

Якщо L – коло або частина кола з центром в точці z 0 і радіусом
R, то зручно використовувати рівняння виду
z  z 0  R e it 0 (  t  2 ).

Приклад 3.3
Обчислити  iz2  zz dz , де L – дуга кола |z|=2,  arg0 z   .

L
Розв’язок.
it it it
Нехай  ez 2 z ,  e2 , dz  z  t)( dt  ie2 dt, 0  t   .

Тоді 2iz  zz dz    22i e it  2e it 2e it  2ie it dt 

L 0
 
 8i  ie 2it  e it  4 iedt 2it  8e it    16 .
0 0

37