Page 36 - 4328

Приклад 3.1

Обчислити інтеграл  z Im2  z 2 dz
L
а) по прямій у=х від точки z  0 до точки z 1 i 
1 2
2
б) по параболі y  x від точки z  0 до точки z 1 i  .
1 2
Розв’язок.
Знайдемо дійсну та уявну частини підінтегральної функції:
2
2
2
f ( z)  2 z Im z  x ( 2  iy)  Im( x  y  2 ixy)  2 x 2 xy  i 2 y .
u (x , ) y  2x 1 (  ) y ,
( v x, y)  2 y ,


 f ( z) dz  2 x 1(  y) dx  ydy2  i   ydx2  x 1(2  y) dy
L L L

а) L – пряма у = х, dy = dx, x змінюється від 0 до 1.

1 1
 f (z )dz   2x  1 x  2x dx  i   2x  2x  1 x dx 
L 0 0
1 1 8 2
   x2 2  4 x dx  i 2 x 2 dx   i .

0 0 3 3

2
б) L – парабола y  x , dy = 2xdx, х змінюється від 0 до 1.

1 1
 f (z )dz    2x 1  x 2  2x 2 2x dx  i   2x 2  2x  1 x 2  dxx 
2
L 0 0
1 1 5 22
   x6 3  x 2 dx  i   x4 4  x 2 2 dx   i .
0 0 2 15

36