Page 16 - 4328

2.3 Основні елементарні функції комплексної змінної

Показникова функція.
Обчислюється за допомогою формули Ейлера:

x
z
iy
e  e x iy  e  e  e x (cos y  i sin ) y . (2.4)

x
w  z  e
x
u  Re w  e cos y
x
v Im w  e sin y
z
arg w  arg e  y
z
w  e - періодична функція з чисто уявним періодом T  2 i  .
z2 i z 2 i z z
e  e e   e (cos 2 i  sin 2 )  e .
Властивості показникової функції

1
1
w  w  e z 1 e  z 2  e z  z 2 , w 1  e z  z 2 .
2
1
w 2
Логарифмічна функція w  Ln z .
Логарифмічна функція визначається як обернена до
показникової функції: число w має назву логарифма числа z , де
w
z  0 , якщо e  .
z
w  Ln z ln  iz arg z 2 k , k  ; 0  ; 1  ; 2 ... (2.5)

Ця функція нескінченнозначна, при k = 0 обчислюється головне
z
значення логарифма: ln  ln z  iarg z . Головне значення логарифма
дійсного додатного числа співпадає зі звичайним натуральним
логарифмом цього числа.
Логарифмічна функція комплексної змінної володіє відомими
властивостями логарифма дійсної змінної.

16