Page 40 - 430

2) на межі області за допомогою рівнянь межі функцію
зводять до функції однієї змінної, для якої знаходять
критичні точки;
3) визначають значення функції в усіх знайдених точках і в
кутових точках межі; серед цих значень вибирають
найбільше і найменше.
Приклад 3.2 Знайти найбільше і найменше значення
2
2
функції z  x  y в крузі x 2  y 2  4 .
Розв’язання. 1) знаходимо перші частинні похідні


z  2 x, z   2 y ;
x y
2) визначаємо критичні точки в області D
  0f x   2x  0   0x
    , P 0 ) 0 ; 0 ( – критична точка;
 y  f  0   2y  0  y  0
3) знайдемо тепер найбільше і найменше значення функції
на межі, тобто на колі x 2  y 2  4 . Для точок цього кола
2
2
функцію z  x  y можна записати як функцію однієї
змінної х:  xz 2  4 (  x 2 )  2x 2  , 4 x  [ ] 2 ; 2 .
Таким чином, знаходження найбільшого і найменшого
значень функції двох змінних на колі x 2  y 2  4 ми звели
до знаходження найбільшого і найменшого значень функції
однієї змінної z 2x 2  4 на відрізку x [ ] 2 ; 2 .
Визначаємо критичні точки функції на інтервалі (-2;2),
обчислимо значення функції в цих точках і на кінцях
інтервалу. Маємо  z  4x , 4 x , 0 звідси дістанемо
критичну точку x  ; 0 z   . 4 Потім знаходимо
x  0
z  . 4 Отже, функція має найбільше значення z 4 і
x   2
найменше значення z  4.

39