Page 39 - 430

P 1 ; 3 ( ), P 3 ; 1 ( ), P ( ; 1  3 ), P ( ; 3  1 ).
1 2 3 4
3) знайдемо частинні похідні другого порядку
 
 
f  6 x, f  6 y, f   6 x і складемо вираз
xx xy yy
2
2
) f 
 (P )  f  (P  (P )  ( f  (P ))  36 (x  y 2 ) .
xx yy xy
Переконуємося, що:
1) ( P  288)  ,0 f  ( P 18)  ,0 P  точка мінімуму ;
1 xx 1 1
2) ( P ) 288  ,0 в точці P  екстремуму немає ;
2 2
3) ( P ) 288  ,0 в точці P  екстремуму немає ;
3 3
4) ( P  288)  ,0 f  ( P ) 18  ,0 P  точка максимуму
4 xx 4 4
Отже, z  f (P )  72 ; z  f (P )   72 .
max 4 min 1

3.3 Найбільше і найменше значення
функції двох змінних

Нехай функція z  f (x , ) y неперервна в замкненій
області D, обмеженій деякою кривою і диференційована в
середині цієї області.
Тоді вона має в цій області найменше і найбільше
значення (лекція 1, т. 1.2), які вона набуває або всередині
області, або на межі області. Якщо найбільше або
найменше значення функція набуває у внутрішніх точках
області D, то ці точки, очевидно, є точками екстремуму
функції z  f (x , ) y .
Отже, точки, в яких функція має найбільше або
найменше значення є або точками екстремуму функції, або
межовими точками області D.
Ці значення знаходять у такій послідовності:
1) знаходять в області критичні точки функції;

38