Page 36 - 430

Лекція 3

Екстремум функції двох змінних

3.1 Означення екстремуму

Поняття максимуму і мінімуму для функції двох
змінних визначається так само, як і для функції однієї
змінної.
Нехай функція двох змінних z  f (x , ) y визначена в
деякому околі точки P (x , y ).
0 0 0
Означення 3.1 Функція двох змінних z  f (x , ) y  f (P )
має в точці P (x , y ) локальний максимум (мінімум), якщо
0 0 0
існує такий окіл цієї точки, що для будь-якої точки ( yxP , )

з цього околу виконується нерівність f (P )  f (P )
0
( (Pf )  f (P )). Точка P , в якій функція z  f (P ) має
0 0
локальний максимум (мінімум), називається точкою
максимуму (мінімуму), або просто точкою екстремуму
функції.
З означення випливає, що коли функція z  f (x , ) y
має екстремум в точці P , то повний приріст
0
 z  f (P )  f (P ) цієї функції в точці P задовольняє в
0 0
деякому околі цієї точки одній з умов:
z  0 (у випадку локального максимуму);
z  0 (у випадку локального мінімуму).
І навпаки, якщо в деякому околі точки P виконується
0
одна з цих нерівностей, то функція має в точці P
0
екстремум.

35