Page 38 - 430

яких екстремуму не має. Це значить, що необхідна ознака
існування екстремуму не є достатньою ознакою.
Теорема 3.2 Нехай в точці P (x , y )можливого
0 0 0
екстремуму і в деякому її околі функція f (x , ) y має
неперервні всі частинні похідні другого порядку
f  ( x , y ) f  (x , y )
і   xx 0 0 xy 0 0 . (3.1)
f  (x , y ) f  (x , y )
xy 0 0 yy 0 0
Тоді:
1) якщо   0 , то в точці P функція має екстремум,
0
причому локальний максимум, коли  xf (  , y )  0, і
xx 0 0
локальний мінімум, коли  f (x , y )  0;
xx 0 0
2) якщо  0 , то в точці P екстремуму немає.
0
У випадку   0 в точці P екстремум може бути, а може
0
й не бути. В такому випадку необхідні додаткові
дослідження.
Сформульовані тут достатні умови існування
екстремуму приймаємо без доведення.
Приклад 3.1 Дослідити на екстремум функцію
2
3
z  x  3 xy  30 x 18 y .
Розв’язання: 1) знаходимо частинні похідні першого
порядку
 f  3x 2  3y 2  30 ,  f  6xy  18 ;
x y
2) знаходимо точки, можливого екстремуму, використавши
необхідні умови екстремуму:

x 2  y 2 10

 xy  3
Розв’язавши систему, дістанемо чотири критичні
точки

37