Page 37 - 430

Як і у випадку функції однієї змінної, точку
максимуму (мінімуму) не слід змішувати з точкою, в якій
функція набуває найбільшого (найменшого) значення в
області D.

3.2 Необхідні і достатні умови екстремуму

Теорема 3.1 Якщо функція f (x , ) y має в точці
P (x , y ) частинні похідні першого порядку і набуває в цій
0 0 0
точці екстремуму, то в цій точці частинні похідні рівні
нулю, тобто  f (x , y )  , 0 f (  x , y )  0.
x 0 0 y 0 0
Доведення: Нехай функція z  f (x , ) y диференційована
в точці P (x , y ) і має в ній екстремум. Перетнемо
0 0 0
поверхню z  f (x , ) y площиною y  y . Тоді функція
0
z  f (x , ) y  f (x , y )  (x ) має екстремум при x  x .
0 0
Ураховуючи необхідні умови екстремуму в одновимірному
випадку, дістанемо  f (x , y )  0.
x 0 0
Аналогічно, розглядаючи функцію z  (xf , ) y 
 f (x , ) y   (y ), знаходимо f (  x , y )  0 .Отже, рівність
0 y 0 0
нулю частинних похідних першого порядку функції
z  f (x , ) y є необхідною умовою існування в точці P
0
екстремуму. Відзначимо, що функція може мати екстремум
в точках, в яких хоча б одна із частинних похідних не існує.
Точки, в яких перші частинні похідні
f  (x , y ), f  y (x , ) y функції z  f (x , ) y перетворюються в нуль
x
або не існують, називаються критичними точками цієї
функції.
З цього випливає, що точки екстремуму функції треба
шукати серед її критичних точок. Однак є критичні точки, в

36