Page 11 - 430

Нехай D – деяка множина точок на площині Oxy , а

z  f  yx,  – дійсна функція, визначена на множині D.
Спробуємо зобразити цю функцію графічно. Для цього з
точки  yx,  D перпендикулярно до площини Oxy

побудуємо відрізок завдовжки f  yx,  або, точніше,
відмітимо в просторі точку з координатами
 yx ;; z  f  yx, . Якщо множина D є областю визначення
неперервної функції
f  yx, , то сукупність
точок  yx ;; z  f  yx, 

утворює деяку поверх-

ню, яка задається рів-

нянням z  f  yx, 

(рис.1.3). Графіки функ-
цій двох змінних
2
2
2
2

Рисунок 1.3 z  x  y і z  x  y
(приклади поверхонь) зображено на рис. 1.4 і 1.5.
Побудова графіків функцій двох змінних у багатьох
випадках непроста. Тому є інший спосіб зображення таких
функцій. Основою його є перерізи поверхні z  f  yx, 
площинами z  C , де C  R , тобто площинами,
паралельними до площини Oxy . В перерізах матимемо
деякі криві. Якщо їх спроектувати на площину Oxy , то
дістанемо лінії, які називають лініями рівнів. На кожній
лінії рівня функція z  f  yx,  стала, тобто рівняння лінії
рівня для функції двох змінних має вигляд  yxf ,  C .
За виглядом ліній рівнів можна судити про форму і
“крутизну” поверхні. Очевидно, що при різних С дістаємо
різні лінії рівня для даної функції. Якщо взяти числа

10