Page 14 - 430

Означення 1.3 Число А називається границею функції
двох змінних z  f  yx,  в точці P , якщо для довільного
0
числа >0 існує такий -окіл точки  , yxP , що для будь-
0 0 0
якої точки  yxP ,  з цього околу, крім хіба що точки P ,
0
виконується нерівність
  APf   ( або  yxf ,  A   ). (1.1)
Той факт, що число А є границею функції f в точці P ,
0
прийнято записувати так:
lim f  P  A (або lim f  yx,  A ), (1.2)
P P 0 x x 0
y y 0
оскільки при  , yxP  P  , yx , очевидно x  x , y  y .
0 0 0 0 0
Символічно означення границі функції
z  f  yx,   f  P в точці  , yxP  можна записати так:
0 0 0
   0    0    P U P ,   \ P  f   AP   .
0 0
Якщо границя функції двох змінних при P  P
0
дорівнює нулю, то вона називається нескінченно малою.
Відзначимо, що коли число А є границею функції
z  f  P , то різниця   APf  є нескінченно малою при

P  P .
0
Порівняння нескінченно малих функцій двох змінних
проводиться аналогічно, як у випадку нескінченно малих
функцій однієї змінної.
x 2  y 2
Приклад 1.5 Знайти lim .
x  0 x 2  y 2  1  1
y  0
Розв’язання. Границю функції знаходимо при
P  ; yx  P  0;0 , тобто при   0, де   P P - відстань
0 0

13