Page 79 - 4196

З рівняння (4.65) випливає, що k -й базисний вектор
 у розкладі (4.61) являється власним вектором коре-
k
ляційної матриці R , відповідним k -му характеристич-
ному числу  . Оскільки базисні вектори – це власні ве-
k
ктори дійсної симетричної матриці, вони ортогональні.
Окрім того, вони повинні бути ортонормованими, щоби
T
виконувалась умова   I . Виходячи із цієї властиво-
сті, отримаємо коефіцієнти розкладу помноживши мат-
T
ричне рівняння (4.61) на матрицю  :

T
V   X (4.66)
i
i
Пряма перевірка
T T
M   MV i   X i   M  X
i

доводить, що умова   0VM i  автоматично виконується,
якщо сукупності об’єктів кожного класу мають нульові
математичні сподівання.
Умови оптимальності розкладу Карунена-Лоєва
зберігаються, якщо матриця  складена із qq   n нор-
мованих власних векторів, які відповідають q найбіль-
шим числам кореляційної матриці R . Таким чином дося-
гається ефект зменшення розмірності простору ознак.
Підсумуємо особливості описаного методу.
1) За еталонними об’єктами, якими характеризу-
ються задані класи, обчислюється узагальнена кореля-
ційна матриця R (4.62).
2) Визначаються власні числа і нормовані власні
вектори кореляційної матриці R .
3) Із q власних векторів, які відповідають q найбі-
льшим власним числам кореляційної матриці R , форму-
ється матриця  .
4) За формулою (4.66) обчислюються коефіцієнти
розкладу V , які можна розглядати як зображення ета-
i
лонних об’єктів у просторі меншої розмірності q , порів-
няно із простором розмірності n для вихідних об’єктів.

79