Page 239 - 4196

1 T   2 kt  
S   x  expt   j   dt . (5.52)
k
T   T  
0
Припустимо, що неперервна функція  tx задана
своїми значеннями в n точках. Позначимо значення фу-
нкції в цих точках x 0 , x 1 ,..., x n 1 . Тоді час можна визна-
чити, як t  r  , де  - крок дискретизації,
T
r  1 , 0 ,..., n  1, а   . Заміна інтеграла (5.52) на суму
n
із врахуванням, що T  n  , дає

1 n 1   kr2  
S k   x r exp    j  , (5.53)

n r 0   n  
Формулу (5.53) можна розглядати як дискретний аналог
співвідношень (5.50) для розрахунку коефіцієнтів ряду
Фур’є.

Величина f  1  1 називається основною ча-
1 T n 
стотою сигналу. Вона відповідає періоду T , який дорів-
нює довжині інтервалу обробки. Інші частоти f гармо-
k
нійних складових в (5.49) кратні основній частоті
f  f k 1 .
k
Відмітимо дві особливості дискретного перетво-
рення Фур’є (5.53). По перше ДПФ – це дискретна апрок-
симації інтеграла (5.52), якість якої зростає із збільшен-
ням n і відповідно із зменшенням кроку дискретизації
. По друге, ДПФ дозволяє точно відновити дискретні
значення x 0 , x 1 ,..., x n 1 за допомогою оберненого дис-
кретного перетворення Фур’є (ОДПФ), тобто виконати
синтез x на базі спектральних складових S :
k
r
n 1   2 kr  
x   S k exp  j   , r  1 , 0 ,..., n  1. (5.54)
r
k 0   n  
239