Page 57 - 4195

Досвід показує, що із збільшенням кількості спо-
стережень відбувається стабілізація деяких характерис-
тик випадкової величини, наприклад, середнього значен-
ня. Або із збільшенням кількості випробувань відносна
частота події наближається (збігається по ймовірності) до
ймовірності цієї події. Обидва положення уявляють со-
бою часткові випадки закону великих чисел. Фізичний
зміст цього закону можна сформувати наступним чином:
при великій кількості випадкових подій середній резуль-
тат практично перестає бути випадковим і може бути
передбачений з великою ступінню достовірності.
В математиці під терміном «закон великих чисел»
розуміється ряд математичних теорем, в яких доводиться
факт наближення середніх характеристик великої кілько-
сті дослідів до певних постійних, невипадкових величин.
Більшість цих теорем спирається на нерівність Чєбишева,
яка для них є лемою.
Нерівність Чєбишева. Для любої випадкової вели-
чини Х, яка має кінцеву дисперсію (D X ), має місце нері-
вність:
D ( X )
P X  m x    .
 2
Або в іншій формі
D ( X )
P X  m x    1 ,
 2
де  - довільне додатне число.
Нерівність Чєбишева дозволяє оцінювати ймовір-
ність відхилення випадкової величини від її математич-
ного сподівання, коли відома лише дисперсія (D X ).
Користуючись нерівністю Чєбишева, можна оціни-
ти зверху ймовірність того, що випадкова величина Х з
довільним законом розподілу відхилиться від свого ма-
тематичного сподівання не менш, ніж на 3 x :
 2 1
P X  m  3 x  x   . 0 111 .
x
3 x  2 9

57