Page 60 - 4195

Одним із важливих наслідків закону великих чисел
є теорема Бернуллі: при зростанні кількості n незалеж-
них випробувань, в кожному з яких подія А з’являється з
ймовірністю  AP відносна частота події A збігається
до ймовірності  AP :
 m 
lim P   P       1.
A
n   n 
Розглянемо іншу групу граничних теорем теорії
ймовірності, в яких визначаються умови виникнення но-
рмального розподілу. Практика показує, що ці умови в
багатьох випадках є домінуючими, що і пояснює широку
розповсюдженість нормального закону в природі.
Центральна гранична теорема: якщо випадкові
величини X ,..., X незалежні, однаково розподілені і
1 n
мають кінцеві математичне сподівання m та дисперсію
n
2
 , то при збільшенні n закон розподілу суми Y n   X
i
i 1
необмежено наближається до нормального.
Розглянемо приклад, де використовується центра-
льна гранична теорема.
Приклад 1.22 Знайти апроксимацію суми n незале-
жних випадкових величин X ,..., X , що розподілені рів-
1 n
номірно в інтервалі (0.1), нормальним розподілом з па-
2
раметрами m та  .
Розв’язання. Згідно центральної граничної теореми
n
при великому n випадкова величина Y n   X розподі-
i
i 1
лена наближено нормально з параметрами
1 1
M   nY n  M   nX   ; D   nY n  D   nX   .
i
i
2 12

60