Page 59 - 4195

Теорема Маркова. Якщо X 1 ,..., X - залежні випа-
n
дкові величини з математичними сподіваннями
m 1 x ,..., m xn і дисперсіями такими, що lim D  0 ,
n
n 
1 n n
де D n    K - узагальнена дисперсія; K ij - елеме-
ij
n 2 i  1 1j
нти коваріаційної матриці, то різниця між загальним се-
реднім арифметичним та середнім арифметичним їх ма-
тематичних сподівань збігається по ймовірності до нуля:
 1 n 1 n 

  X   m xi   n  0 .
i

 n i 1 n i 1 
Важливе значення в практиці обробки вимірювань
має теорема Слуцького: якщо випадкові величини
X n , Y n ,..., W при збільшенні n збігаються по ймовірно-
n
сті до відповідних невипадкових величин ,x y ,..., w , то
довільна раціональна функція цих випадкових величин
R X n , Y n ,..., W n  збігається по ймовірності до невипад-
кової величини  ,xR y ,..., w  (якщо  ,xR y ,..., w  - кінцева
величина). Наслідок: люба степінь R k X n , Y n ,..., W n 

при k  збігається до R k  ,x y ,..., w .
0
Одне із технічних застосувань цієї теореми наступ-
не. На вхід технічного пристрою подаються випадкові
величини X n , Y n ,..., W , які при n   збігаються по
n
ймовірності до невипадкових величин ,x y ,..., w . Нехай
вихідна величина технічного пристрою визначається за
формулою XR n , Y n ,..., W n . Тоді при достатньо вели-
кому n вихідну величину приблизно можна розглядати,
як невипадкову величину XR n , Y n ,..., W n  При цьому
ніяких обмежень на залежність X n , Y n ,..., W не накла-
n
дається.

59