Page 58 - 4195

В дійсності, для багатьох випадкових величин, що
зустрічаються на практиці, ця ймовірність значно менша.
Так, нап-риклад, для нормальної величини точне значен-
ня цієї ймовірності дорівнює 0.0027 (або в 40 разів мен-
ше), а для розподілу Лапласа – 0.014 (або в 7 разів мен-
ше) (див. приклад 1.18).
Закон великих чисел має кілька форм (теорем). Роз-
глянемо деякі з них.
Теорема Чєбишева. Якщо X 1 ,..., X - послідов-
n
ність випадкових величин, таких, що: 1) вони попарно
незалежні; 2) мають кінцеві дисперсії, обмежені постій-
ною c  ( (D x i )  ) c , то для довільного  : 0
0
 1 n 1 n 
lim P   X   M ( X i )     . 1
i
n   n i 1 n i 1  

Якщо M ( X i )  , a то
 1 n 
lim P   X  a     . 1
i
n   n i 1 
Зміст цієї важливої теореми полягає в тому, що се-
реднє арифметичне випадкових величин X 1 ,..., X при
n
достатньо великому n буде (з великою ймовірністю) як
1 n
завгодно мало відрізнятися від числа  M ( X i ) (або а).
n i 1
Звідси випливає, що середнє арифметичне великої
кількості випадкових величин має мале розсіювання.
Теорема Чєбишева називається законом великих чи-
сел для незалежних випадкових величин і відіграє суттє-
ву роль в теорії обробки вимірювань.
Наступна теорема розповсюджується на суми зале-
жних випадкових величин.

58