Page 41 - 4168

Метод невизначених множників Лагранжа
Природно, що розв’язок задач умовної оптимізації знач-
но складніший ніж розв’язок задач безумовної оптимізації. Ло-
гічним є зведення задачі умовної оптимізації (пошук відносно-
го екстремуму) до більш простої задачі безумовної оптимізації
(пошук абсолютного екстремуму). Така процедура здійснюєть-
ся за допомогою методу Лагранжа. Його суть полягає в зведені
задачі з обмеженнями до задачі без обмежень. Для чого вико-
ристовується запис функції Лагранжа.
Алгоритм методу невизначених множників Лагранжа
1 Зводимо задачу до стандартного вигляду, де обмеження-
нерівності перетворено в рівності, а вільні члени перенесено
в ліві частини обмежень.
Z( x , x ,.... x ⇒) extr , (3.19)
1
n
2
f 1 (x 1 , x 2 ,....x n ,b 1 ) = , 0
f 2 (x 1 , x 2 ,....x n ,b 2 ) = , 0 (3.20)
…………………….. ,
f m (x 1 , x 2 ,....x n ,b m ) = . 0
2 Згідно з методом Лагранжа замість відносного екстремуму
функції при обмеженнях шукаємо абсолютний екстремум
функції Лагранжа, яка має наступний вигляд
L = Z (x ,x ,....x ) + λ f (x ,x ,....x ,b ) + λ f (x ,x ,....x ,b ) +
1 2 n 1 1 1 2 n 1 2 2 1 2 n 2 (3.21)
...+ λ m f m (x 1 ,x 2 ,....x n ,b m ) ⇒ extr ,
де λ 1, λ 2 ... λ т - невизначені множники Лагранжа, що є, як і
змінні х 1, х 2 ... х п, шуканими змінними.
У функцію Лагранжа входить цільова функція плюс кожне
обмеження, помножене на множник Лагранжа. Доведено,
що відносний екстремум цільової функції (3.19) при обме-
женнях (3.20) співпадає з абсолютним екстремумом функ-
ції Лагранжа (3.21).
3 Пошук абсолютного екстремуму функції Лагранжа викону-
ємо відомими методами. Зокрема, визначаємо і прирівнює-
мо до нуля часткові похідні функції Лагранжа

41