Page 16 - 34

2
2
2
2
Або  AC    AB   2  AC   AB cos   OC    OB   2  OC  OB cos .
a
A

Групуючи члени цього рівняння, отримуємо
2
2
2
2

 2
2  OC  OB cos    C O    AC    B O    AB    AC  AB cos A.
a
Маємо
2

a
2  OC  OB cos  2 R  2  AC   AB cos . A .
R R C A  B A
a
і cos      cos A (1.8)
C O  B O C O  B O
R R C A  B A
Але  cos b ,  cos c, а  sin b ,  sin c.
C O  B O  C O  B O 
Підставимо ці вирази в (1.8) і кінцево отримаємо доведену формулу коси-
нусів сторін сферичного трикутника
cos a  cos b cos c  sin b sin c cos A . (1.9)

Щоб отримати формулу косинуса кута сферичного трикутника використа-
ємо (1.9) при рішенні двох взаємополярних трикутників з рисунку для одного з

взаємополярних трикутників на основі (1.9) запишемо

cos a   cos b cos c   sin b sin c   cos A (1.10)

На основі шостої властивості сферичних трикутників можна записати

a   180  A; b   180  B; c   180  C ; A   180  a .
Підставляючи ці вирази в (1.10), отримуємо

cos A  cos B cos C  sin B sin C  cos a (1.11)

Тобто, в сферичному трикутнику косинус довільного кута дорівнює добут-

ку косинусів двох інших кутів, взятих із знаком мінус, доданому до добутку си-
нусів цих кутів, помноженому на косинус сторони між ними.

Теорема синусів сферичного трикутника

З формули (1.9) визначимо

cos a  cos b cos c
cos A .
sin b  sin c
Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння і результат віднімемо від

одиниці.
Маємо

2 2 2 2 2
2 sin b sin c  cos a 2 cos a cos b cos c  cos b cos c
1 cos A .
sin 2 b sin 2 c

16