Page 211 - 2589

1) (kx ) Ф (k ,m )x (m ),

2) Ц ,( kk )  E.

Іншими словами, дискретна перехідна матриця стану описує
рух станів системи і є аналогом перехідної матриці стану,
визначеної вище для системи з безперервним часом.

За визначенням перехідної матриці стану отримуємо:

( x k ) Ф (k ) 0 , x .
0
Очевидно, що:

k  1
Ф (k ) 0 ,   A (i , ) k  . 0

 i 0
Якщо (kA ) - постійна матриця, тоді:

Ф (k ) 0 ,  Ф (k ) A k .

Неважко показати, що дискретна перехідна матриця стану
задовольняє наступним властивостям:

Ф (k ,k ) Ф (k ,k ) Ф (k ,k ),
1 2 2 1 3 1

1
Ф (k ,k )   (kФ ,k )  .
1 2 2 1
У стаціонарному випадку для обчислення перехідної матриці
стану можна використовувати теорему Келі - Гамільтона.

Приклад 7.15. Для системи з дискретним часом, описуваної
рівнянням –
 0 1 
x (k  ) 1  x  ,k
 
  4  5 
отримуємо:
k
Ф (k )  A  a 1 a . A
0 1
Власні значення матриці A дорівнюють    , 1    . 4
1 2
k
Відповідно, власні значення матриці A дорівнюють:
k
k
k
( )  ( ) 1 і ( )  ( k . ) 4
1 2
тому
k
k
( )  ( ) 1  a  a   a  a ,
1 0 1 1 0 1
k
( )  ( ) 4 k  a  a   a  4a .
2 0 1 2 0 1
Вирішуючи ці рівняння, отримуємо:
4 1
k
k
a  ( ) 1  ( ) 4
0
3 3
211