Page 208 - 2589

Перехідна матриця стану Ц , (t ) t після використання
0

перетворень Ейлера має вигляд:

16e  (2 t  )t 0  2e (t  )t 0 2 ( cos ( 2 t  )t 0  sin ( 2 t  ))t 0 
1   (t  )t 
Ц , ( t t )   10e 0 sin ( 2 t  )t 
0  0
20  
 16e  (2 t  )t 0 8e (t  )t 0 2 ( cos ( 2 t  )t  sin ( 2 t  ))t
 0 0 
10e (t  )t 0 sin ( 2 t  )t   4e  (2 t  )t 0  2e (t  )t 0 2 ( cos ( 2 t  )t sin ( 2 t  ))t  
 0   0 0  
 e (t  )t 0 2 ( cos ( 2 t  )t 0  sin ( 2 t  ))t 0   10e (t  )t 0 sin ( 2 t  )t 0  
 (t  )t 0    (2 t  )t 0 (t  )t 0  
  40e sin ( 2 t  )t 0   4e 8e 2 ( cos ( 2 t  )t 0 sin ( 2 t  ))t 0  

Відзначимо, що реакція є дійсною функцією, не дивлячись на
те, що в результаті перетворень, можуть з’являтися комплексні
власні вектори.

8.4 Перетворення змінних стану

Припустимо, що   tx – вектор стану в n-мірному лінійному
векторному просторі станів X . Нехай W - невироджена

квадратна матриця порядку n з постійними коефіцієнтами. Тоді
вектору   tx можна поставити у відповідність вектор (tо ) за

співвідношенням:
о   t  W  1 x   t , (тобто   tx  Wо   t )

який також можна розглядати як вектор стану.
Отже, якщо задане лінійні стаціонарне рівняння стану у
стандартній формі
x  (t )  Ax (t ) Bu (t ),

y (t )  Cx (t ) Du (t ),

то, оскільки (tx  )  W о (t ), то

о (t )  W  1 AWо (t ) W  1 Bu (t ),

y (t )  CWо (t ) Du (t ).
При такому перетворенні розв’язок може

бути простішим шляхом використання перетвореного рівняння
стану, яке описує систему, еквівалентну первинній. Іншими
словами, системи, описані первинним рівняннями стану у
стандартній формі і системи з перетвореними змінними стану,

будуть еквівалентні.
Очевидно, що у якості матриця перетворення W слід
вибрати матрицю, таку, що

S  1 AS  J ,

208