Page 206 - 2589

( x t ) Ц t , ( t )x
0 0
при всіх t, оскільки
( x t ) Ц (t ,T ) Ex  x
0 0 0 0 0
і
d d d
[x (t )]  [Ц (t , ) t x ]  [Ц t , ( t )]x 
dt dt 0 0 0 dt 0 0

 A (t )Ц , (t ) t x  A (t )x (t ).
0 0
Назва перехідна матриця стану є цілком відповідним для

матриці Ц , (t ) t , так як вона відображає стан в момент t з
0 0
допомогою лінійного перетворювання:

x (t ) Ц , (t ) t x (t ).
0 0
Початковий момент є довільним і може розглядуватися як

деяка змінна, тому перехідну матрицю стану можна записати у
вигляді матриці Ц , (t )  , яка характеризується наступними

властивостями:
д
1) [Ц t , (  )] A ) (t Ц , (t )  ;
дt
2) Ц ,(t )  E при t  ,

3) ( ttЦ , )Ц (t , ) t  Ц (t , ) t
1 2 2 3 1 3
4) (Ц t , t )Ц (t , t )  Ц (t , t )  , E
1 2 2 1 1 1
 1
5)  (tЦ ,  ) t  Ц (t , t ).
1 2 2 1
По аналогії з системами першого порядку перехідна матриця
стану має вигляд

 t 
Ц t t, ( )  exp  A ( )  d ,

0
 t 0 
а для стаціонарних систем

Ц , ( t t )  exp  (t A t  ) .
0 0
Реакція стану системи на нульовий початковий стан

визначається залежністю
t
x ( t)  Ц t, ( )B (  ()u )  d

u
t 0
Загальна реакція стану системи визначається як:
x (t )  x (t ) x (t ),
0 u
або
t
( x t)  Ц t t, ( )x  t  Ц t, ( )B (  ()u )  d .
0 0
t 0

206