Page 207 - 2589

Для стаціонарних систем
t
( x t)  e A t ( t ) x   et  A  t ( ) Bu ( )  d .
0
0
t 0
Приклад 7.13. В прикладі 7.11 для ланки на рис.7.11 рівняння
стану у стандартній формі ає вигляд:

  2 1 0  1  0


x   1 0 1  x  0 0  u,
   
 0 4   2  0  4 


2 0 0 
y    x.
 0 0 5 , 0 
Розв’язок цих рівнянь легко можна знайти після
A
t
обчислювання e . Характеристичними числами матриці A
знаходяться з рівняння
 2  1 0

2
det( A E )   1    1    2 (   )  2 ( 5   )  0,
0 4  2 

Звідки    2,    1 i 2 ,    1 i 2 . Відповідна сукупність
1 2 3
власних векторів має вигляд:
 1   1   1 
     
о  0 , о  1  2i , о  1  2i .
1   2   3  
     
 1   4   4 

Функцію від матриці можна знайти з співвідношення

1

e At  Se Лt S ,
де Л  diag (e  1 t , e  2 t , e  3 t ) і S – матриця власних векторів. Звідки:

 1 1 1  e  t 1 0 0   16 0  4 
1     t   
e A t  0 1  i 12  i2 0 e 2 0 2  i i 5 2  i 
20      
1 4 4    0 0 e  t 3    i2  i 25   i 




 e16  t 1  2(  ei)  t 1  2(  ei)  t 1 5 i( e  t 1  e )  e4  t 1  2(  ei)  t 1  2(  ei)  t 1 
 t 1
1  
 5 i( e  t 1  e ) ( 10  i)5 e  t 1  10(  i)5 e  t 1 5 i( e  t 1  e ) 
 t 1
 t 1
20  
16 e  t 1  8(  i)4 e  t 1  8(  i)4 e  t 1 20 i( e  t 1  e ) e 4  t 1  8(  i)4 e  t 1  8(  i)4 e  t 1 
 t 1
 

16e 2t  2e t 2 ( cos 2t  sin 2t ) 10e t sin 2t  4e 2t  2e t 2 ( cos 2t  sin 2t  )
1  t t t  .
 10e sin 2t e 2 ( cos 2t  sin 2t ) 10e sin 2t
20  
16e 2t  8e t 2 ( cos 2t  sin 2t )  40e t sin 2t 4e 2t  8e t 2 ( cos 2t  sin 2t ) 
 

207